Automatisation du calcul des caractéristiques d'une section droite

L’objectif est de proposer une méthode pour le calcul des caractéristiques mécaniques d’une section droite (surface, centre de gravité, moments quadratiques, directions principales) ou plus généralement d’une surface quelconque qui pourra être automatisée dans un tableur, ou mieux dans un langage de programmation. La surface ne doit pas présenter de vide bien que la méthode pourra être étendue aux surfaces avec vides. Pour simplifier, la surface est formée d'une succession de segments de droite formant un polygone fermé.

Calcul de la surface

Prenons l’exemple simple d’une surface rectangulaire, de hauteur h et de largeur b. Bien sûr, ce cas est trivial, gardons à l’esprit que la méthode fonctionne quelque soit la complexité de la surface et qu’il est plus simple de raisonner sur un cas connu.

section droite

Le calcul de la surface revient à calculer une intégrale double :

formula

Le calcul d’une intégrale double n’est pas une chose aisée, mais le théorème de Green permet de transformer l’intégrale sur la surface en intégrale sur le contour (cf. article Wikipédia sur le théorème de Green). Soit Γ, une courbe plane simple -le contour de notre surface-, positivement orientée et continue par morceaux et S la région du plan délimitée par Γ. Si P et Q ont des dérivées partielles continues sur une région ouverte incluant S, alors :

formula

Pour calculer S avec le théorème de Green, nous devons donc avoir :

formula

Posons pour cela, par exemple :

formula

Il vient alors :

formula

Le contour de notre surface est constitué de 4 segments dont il est facile d’écrire les équations. Pour faciliter ce calcul, utilisons des coordonnées paramétriques :
y = a + αt
z = b + βt
avec t compris entre 0 et 1, a, b, α et β qui sont des constantes pour chaque segment constituant le contour.

section droite
  • Sur les deux segments verticaux
    z est constant donc dz = 0 : l’intégrale est nulle sur les segments verticaux.
  • Sur les côtés horizontaux :
    • Sur le côté supérieur : y = h/2 et dz = l : l’intégrale vaut donc hl/2.
    • Sur le côté inférieur : y = -h/2 et dz = -l : l’intégrale vaut donc hl/2 (dz est ici négatif car z est une fonction décroissante).

Le total vaut bien S = hl. Attention, une orientation opposée du contour conduirait à un résultat négatif.

C’est vrai que pour cet exemple, le calcul est compliqué pour aboutir à une évidence. L’objectif est d’automatiser la formule. Dans la cas général, la surface s’écrit :

formula

Ce calcul se développe bien entendu. Pour chaque segment du contour, l’apport à la surface est donné par la formule suivante :

formula

Calcul des coordonnées du centre de gravité

 

formula

Il est tout à fait possible de prolonger la méthode au calcul des coordonnées (YG, ZG) du centre de gravité de la section droite. YG s’écrit :

formula

Le dénominateur n’est autre que la surface de la section droite. En utilisant le théorème de Green pour calculer le numérateur, la composante du centre de gravité s’écrit :

formula

Effectuons à nouveau le changement de coordonnées, afin de passer en coordonnées paramétriques :

formula

Chaque segment du contour apporte une contribution dans la calcul du centre de gravité. Cette contribution pour le numérateur vaut, tout calcul fait :

Autres caractéristiques géométriques

Cette méthode permet aussi de calculer les moments quadratiques de la section droite et le produit d’inertie.

Conclusion

Ces méthodes sont une solution qui est donc très facile à mettre en oeuvre dans un programme de calcul numérique, ou même dans un simple tableur, ou dans une macro openoffice. Le calcul des directions principales peut bien sûr être envisagé comme une suite à ce travail.

Traitement d'un exemple

Il est temps de passer à la programmation de tout cela !
Cette page donne donc un exercice de programmation basé sur le théorème de Green pour la détermination des caractéristiques géométriques d’une section, à partir d’un exemple.

Lecture d’un fichier de données

Le contour de la surface est écrit dans un fichier texte. Les lignes commençant par un # seront interprétées comme des commentaires.

Exemple de surface : cornière à ailes inégales 120x80x10

equerre

Remarque 1 : les points définissants le contour de la section droite sont donnés dans le repère (O,X,Y), repère classique en mathématique. Les résultats sont donnés dans le repère lié à la section droite (G,y,z), c’est à dire le repère classique de la théorie des poutres. Le repère des directions principales sera noté (G,u,v).

Remarque 2 : cotes en mm

#Définition des caractéristiques géométriques de la section droite
#Saisir les points formant le contour de la section droite
#L'origine du repère est le coin bas gauche
#Equerre
0,0
80,0
80,10
10,10
10,120
0,120

Exercice de programmation

Programmer en utilisant de préférence une approche Programmation Orientée Objet (POO)

  • La position du centre de gravité
  • La surface
  • Les moments statiques
  • Les moments quadratiques
  • Le produit d’inertie

En utilisant le module numpy de Python, calculer les directions principales.

Dans le repère (0,X,Y)
Coordonnées du centre de gravité G :
xG = 19.7 mm
yG = 39.7 mm
Surface S = 1900 mm2
Distances du centre de gravité à la fibre supérieure (v) et à la fibre inférieure (v') :
v = 80.3 mm
v' = 39.7 mm
IGyy = 1003201 mm4 = 100.3 cm4
IGzz = 2783201 mm4 = 278.3 cm4
IGyz = 972631 mm4 = -97.2 cm4
Les valeurs propres valent :
IGuu = 574827 mm4 = 57.5 cm4
IGvv = 3211576 mm4 = 321.1 cm4
Direction principale : 
Angle de la direction principale par rapport à l'axe X  du repère global : 113,77°

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